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Artículo
original
Medición
de tensiones por ultrasonido:
Modelo
matemático para compresión y tracción
Ultrasound stress measurement:
Mathematical Model in tension & compression
Raúl Ernesto Novoa(1),
José Rueda(2), Darío Rosito(3)
(1)
Universidad
Nacional de la Matanza
(2) Universidad Nacional de la Matanza
(3) Universidad Nacional de la Matanza
drosito@unlam.edu.ar
Resumen:
El presente trabajo analiza la
teoría de la elasticidad en función de la propagación de las ondas de
ultrasonido para determinar el estado tensional en elementos a tracción. Se
analiza la bibliografía en el estado actual de la ciencia para desarrollar en
la próxima investigación los ensayos de laboratorio que justifiquen el modelo
adoptado. Además, se analiza un método para desarrollar las tareas de campo
para el monitoreo de estructuras existentes con el fin de disminuir errores.
Abstract:
The present work analyzes the theory of elasticity as a function of the propagation of ultrasound waves to determine the stress state in tensile elements. The bibliography in the current state of science is analyzed to develop in the next investigation the laboratory tests that justify the adopted model. In addition, a method is analyzed to develop field tasks for monitoring existing structures in order to reduce errors.
Palabras Clave: Ultrasonido, ondas, tensiones, compresión
Key Words: Ultrasonic, waves, tension, compression
Colaboradores: Matías Rodríguez, Jorge Acevedo, Nicolás García
I. CONTEXTO
Dado el
gran número de estructuras metálicas construidas, es necesario contar con algún
ensayo no destructivo que nos indique el estado tensional de los elementos
estructurales independientemente de los cálculos realizados. Esto se debe a que
las estructuras se analizan con premisas ideales de cálculo que pueden alejarse
de la realidad o situaciones en las cuales el proyectista no pudo evidenciar en
el momento de la construcción.
El
trabajo de investigación se circunscribe a la mecánica del sólido para aceros
de la construcción actuales y para solicitación axil de manera de determinar
las tensiones normales. Dado que este trabajo es introductorio, para realizar
las pruebas de laboratorio se analiza el estado de la ciencia y algunas
alternativas que generen menos error en el momento de la instrumentación en el
laboratorio o del futuro instrumento de medición.
El
objetivo es poder desarrollar en un futuro un equipo de medición de ultrasonido
fácil de utilizar que sirva para monitorear estructuras metálicas.
II. INTRODUCCIÓN
La bibliografía de la mecánica del sólido se basa en
dos teorías relacionadas, Hooke [1]
y Lamé [2],
que datan de los años 1665 y 1852 respectivamente y que se fusionan en la
teoría de la elasticidad [3]
[4]
[5].
En esa época, la norma de diseño era por tensiones admisibles y se trabajaba en
el campo elástico. Esto quiere decir que ambas teorías consideran que los
materiales resisten lo mismo a compresión que a tracción. Además, consideran
que, eliminada una acción, la pieza vuelve a su condición de equilibrio
inicial, por lo cual no analizaban los elementos elastoplásticos.
Por otro lado, se analizan los fundamentos de la
propagación de ondas en los sólidos [6]
[7]
y la utilización de ondas de ultrasonido para la realización de ensayos no
destructivos [8]
[9]
[10]
que relacionan y caracterizan a los materiales según la velocidad, la onda y
las correspondientes condiciones de borde.
Por último, existen distintos trabajos de laboratorio para
medir el estado de tensiones residuales en rieles [11],
en alas de perfiles laminados [12],
en bordes de agujeros [13],
tensiones de fatiga [14],
comportamiento anisotrópico de los materiales [15] [16]
[17],
tensiones axiales por dilatación [18]
[19]
y tensiones por fuerzas axiales [20]
[21]
[22]
Toda esta información se ha analizado y compilado tratando de
uniformizar las constantes y variables, y ha sido evaluada para minimizar la
propagación de errores, lo cual se desarrolla en el presente artículo.
III. DESARROLLO
1. Tensor de
tensiones
Analicemos las ecuaciones del tensor de tensiones en coordenadas ortogonales para la condición del equilibrio de fuerza F=(X,Y,Z) en un paralelepípedo elemental de material, como se indica en la Fig. 1 resulta de las ref. [3] y [4]
Fig. 1. Estado triaxial de tensiones
(1.1)
Siendo:
y
:
Por otro lado, si consideramos las coordenadas elípticas de Lamé Fig.2 [2]:
Fig. 2. Coordenadas elípticas de Lamé
(1.2)
El mismo estado de tensiones expresado en coordenadas elípticas de Lamé:
2. Tensor de
deformación
La deformación del sólido viene dada por:
(2.1)
|
|
Siendo:
y
:
componentes de desplazamiento de un punto cualquiera
del paralelepípedo elemental.
Que expresado solo en función del Tensor de deformación y
descartando las torsiones:
(2.2)
3. Ley de Hooke y Lamé
(3.1)
Aplicando la ley de Hooke [1]
generalizada:
Siendo:
E: módulo de elasticidad longitudinal de Young
G: módulo de elasticidad transversal
n:
módulo de Poisson.
(3.2)
La misma ecuación de Hooke se puede expresar en función de los
coeficientes de Lamé para las tensiones normales:
(3.3)
Teniendo en cuenta que Lamé considera que la
dilatación como:
θ =
Dado que podemos tomar las dos fórmulas constitutivas de la elasticidad,
ya sea por Hooke o Lamé, analicemos la equivalencia
de ambas para solicitación axil:
Las
constantes de Lamé:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Si sustituimos (3.4) y (3.5) en (3.3) y considerando que para el caso de
solicitación axil:
(3.8)
Por lo cual, se demuestra que la ecuación de Lamé
es lo mismo que Hooke. Como la ecuación de Lamé es
una función de sus constantes λ y μ, las cuales dependen de la ν
y E, la propagación de errores de la ecuación de Lamé
resulta igual que para la ecuación de Hooke, aunque incida la propagación del
error de ν. Esto ocurre porque, para cualquier E los factores λ y
μ se combinan de tal forman que siempre generan el valor de E para
cualquier ν
Por tal motivo, tomar la ecuación de Hooke o Lamé
no genera ninguna diferencia en la propagación del error para instrumentación.
4. Propagación
de la onda
La ecuación de movimiento de una onda resulta:
(4.1)
Siendo:
A: amplitud
Ax, Ay
Az: componentes de la
amplitud de desplazamiento
k: longitud de onda
kx, ky kz
: componentes del vector de
longitud onda
w: la
frecuencia angular en radianes por segundo
V: velocidad de propagación
t: tiempo
Fig. 3. Propagación de onda
(4.2)
(4.3)
Se define como impedancia acústica:
(4.4)
Siendo:
p: presión
: velocidad propagación de la
onda
5.
Ecuación diferencial en materiales ideales sin tensión
Las ecuaciones diferenciales planteadas [6]
[7]
[8]
para la propagación del sonido en materiales isotrópicos, homogéneos y
elásticos corresponden con un oscilador armónico como se ilustra en la Fig.
4
Fig. 4. Oscilador Armónico
Siendo:
m: masa
kr:
constante del resorte
m= ρ .
(5.1)
(5.2)
Igualando (5.1) y (5.2) y considerando sólo la dirección x, que
corresponde al eje de la barra:
(5.3)
(5.4)
Por lo cual, un material sin una
fuerza asociada tendría las siguientes velocidades de propagación
Longitudinales (VL) y Transversales (VT):
Siendo:
μ y
λ: constantes de Lamé
ρ:
densidad del material por unidad de longitud
Los valores
para el acero resultarían:
VL_Acero=5850
m/s
VT_Acero=3230
m/s
Z: Impedancia acústica
Longitudinal = 45.6 x106 kg. s/m2
Longitud de onda long. 10MHz =0.585 mm
Densidad 7.800 kg/m3
Es importante observar que la función de velocidad de la onda dependerá
del módulo de elasticidad. Por lo cual, cualquier variación de la velocidad
indica un cambio en estado tensional del material.
6. Ecuación
diferencial en materiales ideales en tensión
Considerando que el medio no es dispersivo y el
material se comporta como elástico lineal infinito, podemos decir que la
velocidad de la propagación de onda es constante. Por lo cual, la ecuación de
movimiento estará dada por f (x,t)
Siendo:
V: velocidad
t: tiempo
T: tensión
Fig. 5.
Taylor
La nueva
posición x = x v.t
Por lo cual f(x,t)=f(x-V.t)
Para un diferencial dx:
|
|
(6.1)
Haciendo Taylor para Fy:
|
|
|
|
(6.2)
|
|
(6.3)
Haciendo:
|
|
|
|
(6.4)
|
|
De la ley de Newton para la
masa por unidad de longitud del resorte r1:
Combinando (6.4) y (6.5):
|
|
(6.5)
|
|
(6.6)
Por lo
que:
|
|
(6.7)
7. Ondas Rayleigh – Ondas de superficie
Estas ondas se utilizan cuando la propagación se
analiza en la superficie de un sólido de espesor infinito según la Fig. 6
Rayleigh [7] propuso:
Fig. 6. Ondas Rayleigh
(7.1)
Siendo:
α:
atenuación
A: amplitud
En el caso que tengamos una superficie libre (z), la ecuación
diferencial debe considerar las condiciones de borde y en tal sentido la
tensión sobre la superficie será cero, en tal caso la:
σz=τzy= τzy=0
(7.2)
En dicha situación la ecuación de movimiento (7.1) tiene 2 modos de
propagación.
Modo
1:
(7.3)
(7.4)
(7.5)
Modo 2:
(7.6)
(7.7)
(7.8)
Rayleigh especifica que los dos modos ocurren simultáneamente y en el
caso σz=0 se deben
dar las siguientes condiciones:
a. Para
el modo 2 A1=0
b. La velocidad de fase de VR debe satisfacer:
Siendo:
(7.10)
Resultando
para coeficientes de Poisson
α1 = 0.84754 k
α2 = 0.3933 k
Importante:
Lo que significa que longitudes de onda alta se posicionan más cercanas a la
superficie.
8. Ondas Lamb
Las ondas Lamb [8] se utilizan para medir la propagación en placas. Las ondas Lamb se pueden propagar en la placa en infinitos modos según el espesor y la frecuencia. Se suele usar la forma simétrica para analizar la dirección longitudinal y anti-simétrica para analizar la dirección transversal. Fig. 7:
a) Simétrico b) Antisimétrico
Fig. 7. Ondas de Lamb
Según el ángulo de la incidencia, la velocidad de la
onda de fase será:
9. Dispersión
Decimos que una onda posee una propagación no-dispersiva si el pulso permanece constante mientras la onda viaja en la estructura. Como la velocidad en función de la frecuencia y el pulso varía en el interior de la estructura, estaremos en una propagación dispersiva. El cambio sucede porque cada armónico tiene un ingreso particular en distinta velocidad de onda, por lo que hay una disminución de la amplitud y un incremento del pulso, pero la energía se mantiene constante. Fig. 8
(a) No dispersivo
(b) Dispersivo
Fig. 8. Posible propagación de ondas guiadas
10.
Medición de las Propiedades elásticas en elementos isotrópicos
Las propiedades elásticas de los materiales
isotrópicos se pueden obtener en función de la velocidad según [9]
Tabla 1, teniendo en cuenta que las medidas del objeto donde se propaga la onda
son de mayor espesor que la longitud de onda de ultrasonido.
|
Constantes Elásticas (Pa) |
Relación |
|
Módulo Longitudinal |
L=ρ.VL2 |
|
Módulo Cortante |
S=ρ.VT2 |
|
Módulo Volumétrico |
K=L-4.S/3 |
|
Módulo de Young |
E=3S-S2 / (L-S) |
|
Coeficiente de Poisson |
ν= (L-2S) / (2.(L-S)) |
|
Constante de Lamé |
λ=L-2S |
|
|
μ= S |
|
VL:
Velocidad Longitudinal en m/s VT:
Velocidad Transversal en m/s ρ:
Densidad en kilogramos/m3 |
|
|
Tabla
1: Constantes elásticas en materiales isotrópicos |
|
También se pueden obtener las constantes en función de la resonancia
dinámica [10],
suponiendo que el largo de la pieza (lo), la longitud de onda
(k), la
velocidad de onda (V), y la frecuencia de resonancia (fr), para el primer modo (n=1):
Vibración longitudinal:
l0= n.k/2
V=k. fr=2.lo. fr/n
Vibración flexional:
Vibración torsional:
GL es un factor geométrico que contiene las
medidas, forma y coeficiente de Poisson
GT es un factor geométrico que contiene la
sección transversal, forma
11.Elasticidad
acústica en materiales isotrópicos (Acoustoelasticity)
La elasticidad acústica es relacionar el estado
tensional con las variaciones de la velocidad. Inicialmente se ha utilizado
para la medición de las tensiones residuales [11]
[12].
Donde
V0: velocidad de onda sin tensión
ΔV: variación de tensión
A: constante acústica
12.
Birrefrigerancia. (doble refacción)
Generalmente hay velocidades de ondas transversales vtx y
vty correspondientes
a dos direcciones principales de tensión σx σy
El coeficiente Bt está
relacionado al 2º y 3º orden de las constantes elásticas [13].
13.
Efecto de la Textura
La textura nos da una idea cuando la orientación de
los cristales es no aleatoria. Esta situación se debe a una ortotropía
y una tensión residual producto de la birrefrigerancia.
En materiales isotrópicos sin tensión la birrefrigerancia
es cero, para ligeras ortotropías la birrefrigerancia está dada por
Siendo:
B0:
coeficiente del material anisótropo sin tensión
14.
Efecto de la temperatura
La temperatura induce un estado de tensión que puede ser expresado en
Los subíndices cero indican las velocidades sin tensión y K es la
constante del material
15. Método para
anular la birrefrigerancia
Un método desarrollado por [14] analiza
una forma de anular el efecto de la birrefrigerancia
y propone:
)=(1+
(15.1)
Siendo:
V21:
velocidad de onda de corte en la dirección x2 y polarizada en x1
V23:
velocidad de onda de corte en la dirección x2 y polarizada en x3
n:
constante elástica de 3er orden de Murnagham
μ: constante elástica de 2do orden de Lamé
Fig. 9. Método de medición
IV. TAREAS DE LABORATORIO
|
|
Las tareas de laboratorio están fuera del alcance de este trabajo y se
realizarán en la futura investigación para validar las fórmulas de las
investigaciones o bibliografía citada. Las tareas de laboratorio
consistirán en medir las constantes acústicas sin carga de un acero estructural
F24 o A36, luego poner en una máquina de tracción y medir las propagaciones de
la onda en distintas direcciones para cada escalón de carga.
Para poder contrastar el estado de tensiones se pondrán unos sensores de
deformación o strain gages
que medirán los cambios de deformación, mientras se ejecute la prueba de carga.
Fig. 10. Esquema de equipo de laboratorio
V. CONCLUSIONES
En
base a la información recopilada en el presente trabajo se evidencia:
·
En relación al estado de tensiones,
se utilizará la ecuación de Lamé para determinar las
tensiones en base a las deformaciones.
·
Se demostró como el estado de tensiones altera la propagación de la onda
en el material estando el mismo bajo tensión o sin su presencia. Para
estudiarlo, se combinó el estudio de las ondas Rayleigh y Lamb en elementos
isotrópicos. Además, se consideró la birrefringencia, el efecto de la
temperatura y el efecto de la textura.
·
Este análisis permitió obtener una aproximación a una expresión que
analiza la onda con el fin de poder cuantificar esta alteración y relacionarla
con el estado de tensiones.
Para la confirmación de la relación entre las tensiones y las
alteraciones de onda se requiere del desarrollo de prácticas de laboratorio y
la elaboración del equipo necesario para las mismas, lo cual se realizaría en
la próxima instancia de la investigación.
VI. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA
A. Referencias
[1] R. Hooke, “Micrographia: or some physiological description of diminutes bodies made by magnifying glasss with observations and inquiries thereupon”, Londres, John Martyn and James Alleftry, 1664
[2]
M.G. Lamé “Teoría
matemática de la Elasticidad de los cuerpos sólidos”, Paris, 1852
[3]
E.D. Fliess “Estabilidad Segundo curso, 2º
Edición”, Buenos Aires, Kapeluz,1973
[4] S. Timoshenko, J.N. Goodier “Theory of Elasticity 2º Edition”, Toronto, McGraw Hill, 1951
[5] Landau L.D. and Lifshtz E.M “Theory of Elasticity”, London, Pergamon Press, 1959
[6] J.L. Rose “Ultrasonic waves in solid media”, Pennsylvania, Cambridge University press, 2014
[7] Rayleigh J.W.S. “The Theory of sound”, New York, Dover 1945.
[8] Lamb. H “On waves in an Elastic Plate”, London Royal Society Vol 93, 1917
[9] Schreiber E, Anderson O & Soga N. “Elastic Constants and their measurement”, McGraw Hill, NY, 1973
[10] Uygur. E “Nondestructve Dynamic testing” Research techniques in nondestructive testing Vol 4, Academic Press, UK 1980
[11] Johnson GC, “On the applicability of Acoustoelasticity for Residual Stress Determination”, Berkely, USA
[12] PaoY, Sachse W, Fukuoka H, “Acoustoelasticity and Ultrasonics measurement of residual stress”, Academic Press Vol 17, Saint Louis, MO, USA, 1984
[13] Pao Y.H “Theory of acoustoelasticity and Acoustoplasticity” Solid Mechanics Research for quantity non-destructive Evaluation, Dordrecht Netherlands, Martinus Nijhoff, 1987.
[14] Li G.Y, Gower A.L & Destade M, “An ultrasonic measurement of stress in steel without calibration:the angle shear wave identity”, a preprint, Agoust 2020.
LIBROS DE REFERENCIA
[15] Cheeke J.David N. “Fundamentals and Applications of Ultrasonics Waves, 2 Edition” New York USA, CRC Press, 2012
[16] Ensminger D & Bond L. “Ultraonics, Fundamentals, Technologies and Applications, 3 Edition” NY USA, CRC Press 2012
[17] American Society for nondestructive test, “Nondestructive testing Handbook Volume 7 Ultrasonic Testing 3º Edition”, Columbus, ASNT.org, 2007
[18] Schemerr LW Jr, “Fundamentals of ultrasonic nondestructive Evaluacion, a Modeling Approach 2do Edition”, Springer Nature, AG Suiza, 2016
[19] Hellier Charles, “Handbook of Nondestructive evaluation” NY, USA, McGraw Hill, 2003
[20] Songling, She, Weibin &qing “Electromagnetic ultrasonic guide waves”, Singapure, Springer Nature, 2016
PAPER DE REFERENCIA DE TENSIONES RESIDUALES
[21] Fukuoka, Toda, Naka “Nondestructive Residual Stress measurement in a wide flanged rolled beams by acoustoelasticity”, 1983.
[22] Jinxia, Jianyu, Zhiwen, Tribikran “Wavefield in cased hole surrounded by formation with transverse isotropy caused by axial stresses”, 2023
B. Bibliografía
PAPER DE ONDAS DE SUPERFICIE
Hirao, Fukuoka Hori, “Acoustoelasticity effect of Rayleigh surface wave in isotropic material” Shizuoka, Japan, 2016
Chaki.s Bourse G. “Guided ultrasonic waves for nondestructive monitoring of stress levels in prestressed steel strands” Cedex, France 2007
DETERMINACIONES DE CONSTANTES
Murnaghan FD, “Finites deformation of an elastic solid” J. Hopkins University Press, 1953
Stobbe D. M ”Acoustoelasticity in 7075-T651 Aluminum and Dependence of third Order Elastic Constants on Fatigue damage” Georgia Institute of Technology, 2005
Yung Chun L, Shi H.K “Measurement of acoustoelastic effect of surface wave with an improved acoustic transducer” Tainan Taiwan, 2003
Sennosuke Takahashi, “Measurement of third order elastic constants and stress dependent coefficients for steel”Japan, 2018
ANISOTROPIA
Uglov A.L&Khlybov.”On the inspection of the stressed satate of anisotropic steel pipelines using the acoustoelasticity method” Nzhny Novgorod, Rusia, 2014
Mase T, Johnson G.C, “An Acoustoelasticity theory for surface waves in anisotropic media”Berkeley, USA, 2015
ENSAYOS EN PLACAS
Dos Santos A. “Comparison of acoustoelastic method to eval stress in steel plates and bars”, SP, Brasil, 2002
Recibido:
2023-07-12
Aprobado:
2023-12-11
Hipervínculo Permanente: https://doi.org/10.54789/reddi.8.2.3
Datos de edición: Vol. 8 - Nro. 2 - Art. 3
Fecha de edición: 2023-12-29
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